【題目】如圖,已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,
.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若平面平面
,
為
的中點(diǎn),求
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)等邊三角形可知,
,可得
平面
,進(jìn)而可求
平面
,即可求證
;(Ⅱ)以
為原點(diǎn),
為
軸,
為
軸,
為
軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用線面角的向量公式計(jì)算即可.
證明:(Ⅰ)取中點(diǎn)
,連接
,
,
.如圖,
∵三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,,
∴和
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且
.
∴,
.
∵,
平面
,
,
∴平面
.
∵平面
,∴
.
∵,
平面
,
,
∴平面
,
∴.
(Ⅱ)∵平面平面
,且交線為
,
由(Ⅰ)知,
∴平面
.
則,
,
兩兩垂直,則以
為原點(diǎn),
為
軸,
為
軸,
為
軸,
建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
,
,
,
,
∵為
的中點(diǎn),∴
,
∴,
,
,
設(shè)平面的法向量為
,
則,取
,得
.
設(shè)與平面
所成的角為
,則
.
∴與平面
所成角的正弦為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的導(dǎo)函數(shù)
零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若的最小值為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知曲線
:
(
為參數(shù)),曲線
:
(
為參數(shù)),且
,點(diǎn)P為曲線
與
的公共點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為,求動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,
,
是
和
的等比中項(xiàng),
的前
項(xiàng)和為
,
.
(1)求和
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
.
(i)求數(shù)列的前
項(xiàng)和
;
(ii)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有10個(gè)相同的小球,現(xiàn)全部分給甲、乙、丙3人,若甲至少得1球,乙至少得2球,丙至少得3球,則他們所得的球數(shù)的不同情況有__________種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)與定點(diǎn)
的距離和它到直線
的距離的比是常數(shù)
.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡
于
,
兩點(diǎn),軌跡
上異于
,
的點(diǎn)
滿足直線
的斜率為
.
(�。┳C明:直線與
的斜率之積為定值;
(ⅱ)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)規(guī)定了數(shù)學(xué)直觀想象學(xué)科的六大核心素養(yǎng),為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是(注:雷達(dá)圖,又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖
,可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析)( )
A.甲的直觀想象素養(yǎng)高于乙
B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)
C.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)一樣
D.乙的六大素養(yǎng)整體水平低于甲
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】環(huán)境問(wèn)題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問(wèn)題,且多種多樣,中國(guó)環(huán)境十大問(wèn)題是指大氣污染問(wèn)題、水環(huán)境污染問(wèn)題、垃圾處理問(wèn)題、土地荒漠化和沙災(zāi)問(wèn)題、水土流失問(wèn)題、旱災(zāi)和水災(zāi)問(wèn)題、生物多樣性破壞問(wèn)題、WTO與環(huán)境問(wèn)題、三峽庫(kù)區(qū)的環(huán)境問(wèn)題、持久性有機(jī)物污染問(wèn)題.其中大氣環(huán)境面臨的形勢(shì)非常嚴(yán)峻,大氣污染物排放總量居高不下,我國(guó)環(huán)保總局根據(jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度,制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)(前者是空氣污染指數(shù),后者是空氣質(zhì)量等級(jí)):(1)優(yōu);(2)
良;(3)
輕度污染;(4)
中度污染;(5)
重度污染;(6)
嚴(yán)重污染.遼寧省某市政府為了改善空氣質(zhì)量,節(jié)能減排,從2012年開(kāi)始考察了連續(xù)六年12月份的空氣污染指數(shù),繪制了頻率分布直方圖如圖,經(jīng)過(guò)分析研究,決定從2018年12月1日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)重污染的日子對(duì)機(jī)動(dòng)車輛施行限號(hào)出行,請(qǐng)根據(jù)這段材料回答以下兩個(gè)問(wèn)題:
①若按分層抽樣的方法,從空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)與良的天氣中抽取5天,再?gòu)倪@5天中隨機(jī)抽取2天,求至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率;
②該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對(duì)空氣質(zhì)量的影響,對(duì)限行兩年來(lái)的12月份共60天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其結(jié)果如下表:
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù) | 12 | 28 | 11 | 6 | 2 | 1 |
根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù),計(jì)算并填寫列聯(lián)表,并回答是否有95%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).
空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良 | 空氣質(zhì)量污染 | 總計(jì) | |
限行前 | |||
限行后 | |||
總計(jì) |
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面四邊形ABCD是菱形,,
,將
沿對(duì)角線BD翻折至
的位置,且二面角
的平面角為
,則三棱錐
的外接球的表面積為( )
A.B.
C.
D.
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