Question

設函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（P為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當a=1時，求過點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的面積：
（2）試討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對于任意的x₁∈（0，1），總存在x₂∈[0，1]使得f（x₁）-x₁²≥e^x-x₂-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求過點（1，f（1））處的切線以及切線與坐標軸圍成的面積：
（2）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可；
（3）求函數(shù)的導數(shù)，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： .解：（1）當a=1時，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f′（x）=e^x+1，f′（1）=e+1，
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=（e+1）（x-1），
即y=（e+1）x-1…（2分）
設切線與x、y軸的交點分別為A，B．
令x=0得y=-1，令y=0得x=

1

1+e

，∴A（

1

1+e

，0），B（0，-1）…（3分）
S△=

1

2

×

1

e+1

×1=

1

2(e+1)

．
在點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為

1

2(e+1)

                                   …（4分）
（2）f（x）=e^x+ax-1，f′（x）=e^x+a
當a≥0時f，（x）＞0所以f（x）在R上單調(diào)遞增
當a＜0時在（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減
在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
（3）對于任意的x₁∈（0，1），總存在x₂∈[0，1]使得f（x₁）-x₁²≥e^x-x₂-1恒成立
等價于[f(x1)-

x

2 1

]min≥[ex-x-1]min
由（2）知y=e^x-x-1在（-∞，0）遞減，（0，+∞）遞增
所以[e^x-x-1]_min=0
所以e^x+ax-1-x²≥0…（8分）
得a≥

1+x2-ex

x

恒成立，
令h（x）=

1+x2-ex

x

=

1

x

+x-

ex

x

，
則h′（x）=1-

1

x2

-

ex(x-1)

x2

=

(x-1)(x+1-ex)

x2

令k（x）=x+1-e^x，則k′（x）=1-e^x，…（10分）
∵x∈（0，1），∴k′（x）=1-e^x＜0，
則k（x）在x∈（0，1）上為減函數(shù)，
∴k（x）＜k（0）=0，
又∵x-1＜0．
∴h′（x）=

(x-1)(x+1-ex)

x2

＞0，…（11分）
∴h（x）在x∈（0，1）為增函數(shù)，h（x）＜h（1）=2-e，
因此只需a≥2-e …（12分）

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合應用，考查學生的計算能力．