【題目】設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)
,且直線(xiàn)
過(guò)
的左焦點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)設(shè)為
上的任一點(diǎn),記動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為
,
與
軸的負(fù)半軸、
軸的正半軸分別交于點(diǎn)
,
的短軸端點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)
的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為
、
,當(dāng)點(diǎn)
在直線(xiàn)
上運(yùn)動(dòng)時(shí),求
的最小值;
(3)如圖,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)
的右焦點(diǎn)
,并交
于
兩點(diǎn),且
在直線(xiàn)
上的射影依次為
,當(dāng)
繞
轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),直線(xiàn)
與
是否相交于定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)
(3)當(dāng)
繞
轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),直線(xiàn)
與
相交于定點(diǎn)
【解析】
(1)由題設(shè)知a=2,進(jìn)一步求得c,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)求出軌跡為Γ的方程,端點(diǎn)G、H的坐標(biāo),得到GH所在直線(xiàn)方程,設(shè)P的坐標(biāo),利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算把轉(zhuǎn)化為P的縱坐標(biāo)的二次函數(shù)求最值;
(3)當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí),直線(xiàn)l⊥x軸,則ABED為矩形,由對(duì)稱(chēng)性知,AE與BD相交FK的中點(diǎn)N(,0),猜想,當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)N(
,0).設(shè)出直線(xiàn)方程及A(x1,y1),B(x2,y2),知D(4,y1),E(4,y2).當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角變化時(shí),首先證直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)N(
,0),再證點(diǎn)N(
,0)也在直線(xiàn)lBD上,可得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),直線(xiàn)AE與BD相交于定點(diǎn)(
,0).
解:(1)由已知得a=2,在直線(xiàn)x﹣5y+1=0中,取y=0,得x=﹣1,可得c=1.
∴b2=a2﹣c2=3,
∴橢圓C的方程為;
(2)由為C上的點(diǎn),得
,
∴Γ:,則G(﹣2,0),H(0,1),
∴GH:,即x﹣2y+2=0.
橢圓C的短軸兩端點(diǎn)分別為(0,),(0,
),
兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F1(,0)、F2(
,0),
設(shè)P(x0,y0),則x0﹣2y0+2=0,
,
,
則,
∴的最小值為
;
(3)當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí),直線(xiàn)l⊥x軸,則ABED為矩形,
由對(duì)稱(chēng)性知,AE與BD相交FK的中點(diǎn)N(,0),
猜想,當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)N(,0).
證明:設(shè)直線(xiàn)l方程y=k(x﹣1),
直線(xiàn)l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),則D(4,y1),E(4,y2),
聯(lián)立,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
∴,
,
當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角變化時(shí),首先證直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)N(,0),
∵AE:(x﹣4),當(dāng)x
時(shí),y
(
0,
∴點(diǎn)N(,0)在直線(xiàn)lAE上,
同理可證,點(diǎn)N(,0)也在直線(xiàn)lBD上.
∴當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)(,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,平面
平面
,
.
(1)求證:平面
.
(2)點(diǎn)在線(xiàn)段
上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面
與平面
所成二面角的平面角為
,試求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),有下列四個(gè)結(jié)論:
①為偶函數(shù);②
的值域?yàn)?/span>
;
③在
上單調(diào)遞減;④
在
上恰有8個(gè)零點(diǎn),
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為( )
A.①③B.②④C.①②③D.①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)(
)與雙曲線(xiàn)
(
,
)有相同的焦點(diǎn)
,點(diǎn)
是兩條曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),且
軸,則該雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線(xiàn)的傾斜角所在的區(qū)間是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線(xiàn)與曲線(xiàn)
恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間
上的最大值為9,最小值為1,記
(1)求實(shí)數(shù),
的值;
(2)若不等式成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)定義在上的函數(shù)
,設(shè)
,
將區(qū)間
任意劃分成
個(gè)小區(qū)間,如果存在一個(gè)常數(shù)
,使得和式
恒成立,則稱(chēng)函數(shù)
為在
上的有界變差函數(shù).試判斷函數(shù)
是否為在
上的有界變差函數(shù)?若是,求
的最小值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由(
表示
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形為矩形,
,
為
的中點(diǎn),將
沿
折起,得到四棱錐
,設(shè)
的中點(diǎn)為
,在翻折過(guò)程中,得到如下有三個(gè)命題:
①平面
,且
的長(zhǎng)度為定值
;
②三棱錐的最大體積為
;
③在翻折過(guò)程中,存在某個(gè)位置,使得.
其中正確命題的序號(hào)為__________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
;
若函數(shù)
在
上存在零點(diǎn),求a的取值范圍;
設(shè)函數(shù)
,
,當(dāng)
時(shí),若對(duì)任意的
,總存在
,使得
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把長(zhǎng)為6,寬為3的矩形折成正三棱柱,三棱柱的高度為3,矩形的對(duì)角線(xiàn)和三棱柱的側(cè)棱
的交點(diǎn)記為E,F.
(1)求三棱柱的體積;
(2)求三棱柱中異面直線(xiàn)與
所成角的大小.
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