【題目】已知函數(shù)在區(qū)間
上的最大值為9,最小值為1,記
(1)求實(shí)數(shù),
的值;
(2)若不等式成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)定義在上的函數(shù)
,設(shè)
,
將區(qū)間
任意劃分成
個小區(qū)間,如果存在一個常數(shù)
,使得和式
恒成立,則稱函數(shù)
為在
上的有界變差函數(shù).試判斷函數(shù)
是否為在
上的有界變差函數(shù)?若是,求
的最小值;若不是,請說明理由(
表示
)
【答案】(1),
;(2)
;(3)是,最小值為10
【解析】
(1)由已知,根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式:
,得
的對稱軸為:
,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值,即可得到關(guān)于
,
的方程組,進(jìn)而解得
,
的值;
(2)由(1)得參數(shù),
的值,代入
可得函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),可將問題轉(zhuǎn)化為距離
軸距離遠(yuǎn)近的問題,得到關(guān)于
的方程,即可求得
的取值范圍;
(3)根據(jù)有界變差函數(shù)的定義,我們先將區(qū)間進(jìn)行劃分,分成
,
兩個區(qū)間進(jìn)行分別判斷,進(jìn)而判斷
是否恒成立,從而得出結(jié)論.
(1)
,是開口向上的二次函數(shù)
根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式:,得
的對稱軸為:
由二次函數(shù)圖像可知在
上是單調(diào)遞增故:
,
得: 解得:
(2)
又 故
為偶函數(shù)
畫出圖像:
由圖像可知要保證: 即:
則:或
解得:
或
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為:
.
(3) 函數(shù)
為
上的有界變差函數(shù)
又 函數(shù)
為
上的單調(diào)遞減函數(shù),在
上是單調(diào)遞增函數(shù)
且對任意劃分:
有
恒成立.
且對任意劃分:
有
可得
綜上所述:存在常數(shù),使得
恒成立,
的最小值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是直角梯形,
,
,
,側(cè)面
底面
,且
,
為棱
上一點(diǎn),且
.
(1)求證:平面
;
(2)若二面角的余弦值為
,求四棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,設(shè)曲線
在點(diǎn)
處的切線
與圓
相切.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在
上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某種氣墊船的最大航速是海里小時,船每小時使用的燃料費(fèi)用和船速的平方成正比.若船速為
海里小時,則船每小時的燃料費(fèi)用為
元,其余費(fèi)用(不論船速為多少)都是每小時
元。甲乙兩地相距
海里,船從甲地勻速航行到乙地.
(1)試把船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用,表示為船速
(海里小時)的函數(shù),并指出函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)船速為每小時多少海里時,船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用為多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓過點(diǎn)
,且直線
過
的左焦點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)設(shè)為
上的任一點(diǎn),記動點(diǎn)
的軌跡為
,
與
軸的負(fù)半軸、
軸的正半軸分別交于點(diǎn)
,
的短軸端點(diǎn)關(guān)于直線
的對稱點(diǎn)分別為
、
,當(dāng)點(diǎn)
在直線
上運(yùn)動時,求
的最小值;
(3)如圖,直線經(jīng)過
的右焦點(diǎn)
,并交
于
兩點(diǎn),且
在直線
上的射影依次為
,當(dāng)
繞
轉(zhuǎn)動時,直線
與
是否相交于定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),否則,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、
為雙曲線
的左、右焦點(diǎn),過
作垂直于
軸的直線,在
軸上方交雙曲線
于點(diǎn)
,且
,圓
的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點(diǎn)
作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為
、
,求
的值;
(3)過圓上任意一點(diǎn)
作圓
的切線
交雙曲線
于
、
兩點(diǎn),
中點(diǎn)為
,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中,隨機(jī)抽取了100名電視觀眾,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示:
文藝節(jié)目 | 新聞節(jié)目 | 總計 | |
20至40歲 | 30 | 18 | 48 |
大于40歲 | 20 | 32 | 52 |
總計 | 50 | 50 | 100 |
(1)用分層抽樣方法在收看文藝節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名,大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名?
(2)在上述抽取的5名觀眾中任取2名,求恰有1名觀眾的年齡為大于40歲的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個不同零點(diǎn)
、
(
),設(shè)函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
,且
的最大值記為
,最小值記為
.
(1)求(用
表示);
(2)當(dāng)時,試問以
、
、
為長度的線段能否組成一個三角形,如果不一定,進(jìn)一步求出
的取值范圍,使它們能組成一個三角形;
(3)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,以線段
為直徑的圓與橢圓交于點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過軸正半軸上一點(diǎn)
作斜率為
的直線
.
①若與圓和橢圓都相切,求實(shí)數(shù)
的值;
②直線在
軸左側(cè)交圓于
、
兩點(diǎn),與橢圓交于點(diǎn)
、
(從上到下依次為
、
、
、
),且
,求實(shí)數(shù)
的最大值.
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