Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：，其通徑（過焦點且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段）長．

（1）求橢圓的方程；

（2）設過橢圓右焦點的直線（不與軸重合）與橢圓交于兩點，問在軸上是否存在一點，使為常數？若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）本題是求橢圓的標準方程，而且只要求一個參數的值，題中已知通徑長，因此解題關鍵是把通徑長用表示出來，只要把通徑端點的橫坐標代入橢圓標準方程求得通徑長為即可；（2）本小題是直線與橢圓相交的計算問題，一般方法是相交弦的兩個端點的坐標為，設直線方程為，把直線方程代入橢圓方程，再利用韋達定理表示出，另外計算出

，它是常數與無關，則有，從而求得，還要注意驗證當軸時，也有.

試題解析：（1）

（2）存在，，當直線與軸不垂直時，設，直線的方程為：

代入得

當時，即，

當直線與軸垂直時，，

， ．

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關系.