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(本小題滿分12分)已知橢圓,其通徑(過焦點且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段)長

(1)求橢圓的方程;

(2)設過橢圓右焦點的直線(不與軸重合)與橢圓交于兩點,問在軸上是否存在一點,使為常數?若存在,求點的坐標,若不存在,說明理由.

(1);(2)存在,且.

【解析】

試題分析:(1)本題是求橢圓的標準方程,而且只要求一個參數的值,題中已知通徑長,因此解題關鍵是把通徑長用表示出來,只要把通徑端點的橫坐標代入橢圓標準方程求得通徑長為即可;(2)本小題是直線與橢圓相交的計算問題,一般方法是相交弦的兩個端點的坐標為,設直線方程為,把直線方程代入橢圓方程,再利用韋達定理表示出,另外計算出

,它是常數與無關,則有,從而求得,還要注意驗證當軸時,也有.

試題解析:(1)

(2)存在,,當直線與軸不垂直時,設,直線的方程為:

代入

時,即

當直線與軸垂直時,

,

考點:1.橢圓的標準方程;2.直線與橢圓的位置關系.

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