Question

若a+b=1，a，b∈R⁺，則（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題可以利用基本不等式得到ab的取值范圍，再將研究代數(shù)式用ab表示，得到原式的最小值．

解答： 解：∵a+b=1，a，b∈R⁺，
∴（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²
=a2+

1

a2

+2+b2+

1

b2

+2
=a2+b2+

1

a2

+

1

b2

+4
=(a2+b2)(1+

1

a2b2

)+4
=[(a+b)2-2ab](1+

1

a2b2

)+4
=(1-2ab)(1+

1

a2b2

)+4．
∵a+b≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
∴1-2ab≥

1

2

，1+

1

a2b2

≥17，
∴(1-2ab)(1+

1

a2b2

)+4≥

25

2

．
∴（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．
故答案為

25

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是基本不等式和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，本題有一定難度，屬于中檔題．