Question

（本小題滿分14分）
在數(shù)列中，，且前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍（）． (即
（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．

Answer 1

（1），；
（2），證明見解析

(1)此條件的本質(zhì)是，然后令n=1,2,3,4,5，求出前5項(xiàng)即可。
（2）根據(jù)求得的前5項(xiàng)可以歸納出,由于要證明的結(jié)論與n有關(guān)，可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：證明要分兩個(gè)步驟進(jìn)行：（i）說明n=1時(shí)命題成立。（2）先假設(shè)n=k時(shí)，命題成立；再證明n=k+1時(shí)，命題也成立，在證明時(shí)要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè)。
解：（1）由已知，，分別取，
得，，，
，所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，
．＿＿4分
（2）由（1）中的分析可以猜想．＿＿＿＿＿＿6分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，公式顯然成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么由已知，
得，
即，所以，
即，又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立．
由①和②知，對(duì)一切，都有成立． ----------14分