Question

10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤5}\\{x-2y≤0}\end{array}}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=y-lnx的最小值為1-ln2．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，作出曲線y=lnx，平移曲線y=lnx，利用直線和曲線相切的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=y-lnx得y=lnx+z，
作出曲線y=lnx，平移曲線y=lnx，
由圖象知當(dāng)曲線y=lnx+z與直線x-2y=0相切時(shí)，z最小，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{1}{x}$，直線x-2y=0的斜率k=$\frac{1}{2}$，
由$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$得x=2，此時(shí)y=1，即切點(diǎn)（2，1），
則z=1-ln2，
故答案為：1-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用平移曲線法，結(jié)合直線和曲線相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．