Question

（本題滿分16分）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若,．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為；

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求所有使得等式成立的正整數(shù)，．

 

Answer 1

（１）；（２）； ．

【解析】

試題分析：（１）由于這是一個(gè)特殊數(shù)列等差數(shù)列，根據(jù)題中所給兩個(gè)條件采用回歸基本量的構(gòu)造方程組的方法即可求【解析】
由，化簡(jiǎn)可得：，又由，化簡(jiǎn)可得： ，聯(lián)立方程組卻可求解；（２）①由（1）中所求數(shù)列的通項(xiàng)代入到題中所要求的區(qū)間內(nèi)可得：，對(duì)其化簡(jiǎn)可得：，由于n的整數(shù)特性即可得：，則易求出：；②利用前面所求不難表示出：，這樣它就是一個(gè)新的等比數(shù)列，由求和公式易得：，將它代入已知：，得，化簡(jiǎn)得，即，即，利用，可得，所以，，所以或或．對(duì)這三個(gè)數(shù)我們采用代入檢驗(yàn)的方法即可取舍.

綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)．

試題解析：（１），即；

；

所以，；

（２）

；

得；

；

得，

由，得，化簡(jiǎn)得，

即，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506111603474526/SYS201502150611346761875384_DA/SYS201502150611346761875384_DA.019.png">，所以，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506111603474526/SYS201502150611346761875384_DA/SYS201502150611346761875384_DA.022.png">，所以或或．

當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以無(wú)正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以無(wú)正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以．

綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)．

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的基本量；2.等比數(shù)列的基本量；3.數(shù)列與不等式的綜合