Question

如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的大�。�

（Ⅲ）在線段上是否存在一點,使直線與直線  

所成的角為？若存在，求出線段的長；若   

不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為,分別為，的中點，

所以.

又平面，平面，

所以平面.                                   

（Ⅱ）因為平面，，

所以平面，

所以，.

又因為四邊形是正方形，

所以.

如圖，建立空間直角坐標系，

因為,

所以，，，

，，．

…………5分

因為，， 分別為，，的中點，

所以，，. 所以，.

設(shè)為平面的一個法向量，則,即，

再令，得.,.

設(shè)為平面的一個法向量,則,

即，令，得.

所以==.

所以平面與平面所成銳二面角的大小為.          

（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點,使直線與直線所成角為.

依題意可設(shè),其中.

由,則.

又因為,，所以.

因為直線與直線所成角為，，

所以=，即，解得.

所以，.

所以在線段上存在一點,使直線與直線所成角為，此時.