已知三角形△ABC三內(nèi)角滿足A、B、C成等差數(shù)列,tanAtanC=2+,又頂點C對邊c上的高等于4,求三角形三邊a、b、c的長.
【答案】分析:由A,B及C成等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到A+C=2B,再利用三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù),進而得到A+C的度數(shù),利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan(A+C),根據(jù)A+C的度數(shù),利用特殊角的三角函數(shù)值求出tan(A+C)的值,把已知的tanAtanC的值代入,求出tanA+tanC的值,根據(jù)韋達定理得到關于tanA和tanC的方程,求出方程的解得到tanA和tanC的值,利用特殊角的三角函數(shù)值求出A和C的度數(shù),進而得到B的度數(shù),由c邊上的高,利用正弦定理求出a及b的值,再由a,sinA及sinC的值,利用正弦定理即可求出c的值.
解答:解:由A+B+C=180°及A+C=2B,
得B=60°,A+C=120°,…(2分)
=-,又tanAtanC=2+,
∴tanA+tanC=3+,…(4分)
∴tanA,tanC為二次方程x2-(3+)x+2=0的根,
∴tanA=1,tanA=2+或tanC=2+,tanC=1,
∴A=45°,C=75°或A=75°,C=45°,…(8分)
①若A=45°,C=75°,則B=60°,
根據(jù)正弦定理=,=,=,
;…(10分)
②若A=75°,C=45°,則B=60°,同理可得:
a=8,b=4(3-),c=8(-1).…(12分)
點評:此題屬于解三角形的題型,涉及的知識有:兩角和與差的正切函數(shù)公式,等差數(shù)列的性質(zhì),韋達定理,正弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值,此題求出的結果有兩種情況,都符合題意,注意不要漏解.
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已知三角形△ABC三內(nèi)角滿足A、B、C成等差數(shù)列,tanAtanC=2+
3
,又頂點C對邊c上的高等于4
3
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