Question

已知三角形△ABC三內(nèi)角滿足A、B、C成等差數(shù)列，tanAtanC=2+

3

，又頂點(diǎn)C對邊c上的高等于4

3

，求三角形三邊a、b、c的長．

Answer 1

分析：由A，B及C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到A+C=2B，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，進(jìn)而得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（A+C），根據(jù)A+C的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tan（A+C）的值，把已知的tanAtanC的值代入，求出tanA+tanC的值，根據(jù)韋達(dá)定理得到關(guān)于tanA和tanC的方程，求出方程的解得到tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A和C的度數(shù)，進(jìn)而得到B的度數(shù)，由c邊上的高，利用正弦定理求出a及b的值，再由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，…（2分）
∴tan(A+C)=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，又tanAtanC=2+

3

，
∴tanA+tanC=3+

3

，…（4分）
∴tanA，tanC為二次方程x²-（3+

3

）x+2+

3

=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+

3

或tanC=2+

3

，tanC=1，
∴A=45°，C=75°或A=75°，C=45°，…（8分）
①若A=45°，C=75°，則B=60°，
根據(jù)正弦定理

a

sin90°

=

h

sin60°

，

b

sin90°

=

h

sin45°

，

c

sinC

=

a

sinA

，
則a=

4 3

sin60°

=8，b=

4 3

sin45°

=4

6

，c=

asinc

sinA

=4(

3

+1)；…（10分）
②若A=75°，C=45°，則B=60°，同理可得：
a=8，b=4（3

2

-

6

），c=8（

3

-1）．…（12分）

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：兩角和與差的正切函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，韋達(dá)定理，正弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，此題求出的結(jié)果有兩種情況，都符合題意，注意不要漏解．