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已知三角形△ABC三內角滿足A、B、C成等差數列，tanAtanC=2+
3
，又頂點C對邊c上的高等于4
3
，求三角形三邊a、b、c的長．
由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，…（2分）
∴tan(A+C)=
tanA+tanC
1-tanAtanC
=-
3
，又tanAtanC=2+
3
，
∴tanA+tanC=3+
3
，…（4分）
∴tanA，tanC為二次方程x2-（3+
3
）x+2+
3
=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+
3
或tanC=2+
3
，tanC=1，
∴A=45°，C=75°或A=75°，C=45°，…（8分）
①若A=45°，C=75°，則B=60°，
根據正弦定理
a
sin90°
=
h
sin60°
，
b
sin90°
=
h
sin45°
，
c
sinC
=
a
sinA
，
則a=
4
3
sin60°
=8，b=
4
3
sin45°
=4
6
，c=
asinc
sinA
=4(
3
+1)；…（10分）
②若A=75°，C=45°，則B=60°，同理可得：
a=8，b=4（3
2
-
6
），c=8（
3
-1）．…（12分）
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