Question

（本小題滿分14分）

　　已知：函數(shù)（），．

　�。�1）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，求的值；

　�。�2）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

　�。�3）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”。設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）所求“分界線”方程為：．

【解析】解：

　�。�1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221174275006707/SYS201205222120093906644297_DA.files/image004.png">，所以，令

　　　　 得：，此時(shí)，

　　　　 則點(diǎn)到直線的距離為，

　　　　 即，解之得或．　

　　　　 經(jīng)檢驗(yàn)知，為增解不合題意，故

　�。�2）法一：不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，

　　　　 　　　等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，

　　　　 　　　令，由且，

　　　　 　　　所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，

　　　　 　　　則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，

　　　　 　　　故解之得．

　　　　 法二：恰有三個(gè)整數(shù)解，故，即，

　　　　　　　 ，

　　　　　　 　所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221174275006707/SYS201205222120093906644297_DA.files/image026.png">，

　　　　　　 　所以，解之得．

　�。�3）設(shè)，則．

　　　　 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

　　　　 因此時(shí)，取得最小值，

　　　　 則與的圖象在處有公共點(diǎn)．　　　　　　　

　　　　 設(shè)與存在 “分界線”，方程為，

　　　　 即，

　 由在恒成立，則在恒成立 ．

　 所以成立，因此．

　　　　 下面證明恒成立．

　　　　 設(shè)，則．

　　　　 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

　　　　 因此時(shí)取得最大值，則成立．

　　　　 故所求“分界線”方程為：．