Question

（本小題滿分16分）

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。

(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。

(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù)，

，，且，

若||<||，求的取值范圍。

Answer 1

[解析] 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。

（1）(i)

∵時(shí)，恒成立，

∴函數(shù)具有性質(zhì)；

(ii)（方法一）設(shè)，與的符號(hào)相同。

當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；

當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；

當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對(duì)稱軸，而，

對(duì)于，總有，，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；

（方法二）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，

   所以，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；

當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對(duì)稱軸，方程的兩根為：，而

 當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)在區(qū)間     上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增；

          當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增。

(2)（方法一）由題意，得：

又對(duì)任意的都有>0，

所以對(duì)任意的都有，在上遞增。

又。

當(dāng)時(shí)，，且，

         

綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。

（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。

①當(dāng)時(shí)，有，

，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，

從而有||<||，符合題設(shè)。

②當(dāng)時(shí)，，

，于是由及的單調(diào)性知，所以||≥||，與題設(shè)不符。

③當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得||≥||，與題設(shè)不符。

因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）。