Question

（2010江蘇卷）18、（本小題滿(mǎn)分16分）

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線(xiàn)TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡；

（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（3）設(shè),求證：直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。

Answer 1

 [解析] 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的方程，考查方直線(xiàn)與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)�？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。滿(mǎn)分16分。

（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得 化簡(jiǎn)得。

故所求點(diǎn)P的軌跡為直線(xiàn)。

（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）

直線(xiàn)MTA方程為：，即，

直線(xiàn)NTB 方程為：，即。

聯(lián)立方程組，解得：，

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。

（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為

直線(xiàn)MTA方程為：，即，

直線(xiàn)NTB 方程為：，即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，

解得：、。

（方法一）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN方程為：

 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。

所以直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。

（方法二）若，則由及，得，

此時(shí)直線(xiàn)MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。

若，則，直線(xiàn)MD的斜率，

直線(xiàn)ND的斜率，得，所以直線(xiàn)MN過(guò)D點(diǎn)。

因此，直線(xiàn)MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）。