Question

(本小題滿分16分）

已知函數(shù)f(x)＝為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)延長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】解：（Ⅰ）f(x)＝

＝

＝2sin(-)

因?yàn)椤?i>f(x)為偶函數(shù)，

所以　對(duì)x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

因此　sin（--）＝sin(-).

即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),

整理得　sincos(-)=0.因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052100133317185656/SYS201205210015250625717275_DA.files/image009.png">＞0，且x∈R,所以　cos（-）＝0.

又因?yàn)椤?＜＜π，故　-＝.所以　f(x)＝2sin(+)=2cos.

由題意得　　　

故　　　　f(x)=2cos2x.

因?yàn)椤　　?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052100133317185656/SYS201205210015250625717275_DA.files/image012.png">(注:本題有更簡(jiǎn)潔解法)

（Ⅱ）將f(x)的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，

再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.

　

  當(dāng)　　　　　2kπ≤≤2 kπ+ π  (k∈Z),

  即　　　　　4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.

  因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為　　　　　(k∈Z)