Question

設數列的前項和為，并且滿足，．

(Ⅰ) 求 ；

（Ⅱ）猜想的通項公式，并用數學歸納法加以證明.

Answer 1

解：分別令n＝1,2,3，得

∵a_n>0，∴a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3.                                   

 (2)解　猜想：a_n＝n，                                             由2S_n＝a＋n，                               ①

可知，當n≥2時，2S_n－1＝a＋(n－1)，       ②

①－②，得2a_n＝a－a＋1，即a＝2a_n＋a－1.                  (ⅰ)當n＝2時，a＝2a₂＋1²－1，∵a₂>0，∴a₂＝2；                

(ⅱ)假設當n＝k(k≥2)時，a_k＝k.

那么當n＝k＋1時，

 [a_k＋1－(k＋1)][a_k＋1＋(k－1)]＝0，

∵a_k＋1>0，k≥2，∴a_k＋1＋(k－1)>0，

∴a_k＋1＝k＋1.

這就是說，當n＝k＋1時也成立，

∴a_n＝n(n≥2)．顯然n＝1時，也適合．

綜合（1）（2）可知對于n∈N^*，a_n＝n都成立。