在四棱錐中，平面，底面為矩形，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.
（1）見解析：（2）.
本試題主要考查了立體幾何中線線垂直和二面角的求解運(yùn)用。
解：(Ⅰ)當(dāng)嗄時(shí)，底面ABCD為正方形，BDAC
又因?yàn)锽DPABD,面PAC…………………………2分
又PC面PAC
BDPC…………………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線
為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，
則
B(1,0,0)D(0，a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
設(shè)BQ=m，則Q(1,m,0) 
要使PQQD，只要-1+m(a-m)=0
所以1=m(a-m)，……6分
由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得PQQD
當(dāng)且僅當(dāng)m= a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQQD
由此可知a=2…………………………8分
設(shè)面PDQ的法向量
則解得…………………………10分
取平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為…………………………12分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(滿分12分)長方體中，，分別是、中點(diǎn)。
(1)求證：；                   
(2)求二面角的正切值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

三個(gè)平面，三條直線a,b,c共點(diǎn)，知：且。求證: 兩兩互相垂直.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題是真命題的是（    ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在空間給出下面四個(gè)命題（其中、為不同的兩條直線），、為不同的兩個(gè)平面）
①
②
③
④
其中正確的命題個(gè)數(shù)有
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)a、b是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是
A．若a//b，a//，則b//B．若⊥,a//，則a⊥
C．若⊥，a⊥，則a//D．若以a⊥b，a⊥，b⊥，則⊥

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(    )
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，．
（Ⅰ）證明：無論點(diǎn)怎樣運(yùn)動(dòng)，四邊形都為矩形；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求幾何體的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P—ABC中，G、H分別為PB、PC的中點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°.
⑴求證：GH∥平面ABC；
⑵求異面直線GH與AB所成的角．

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