Question

14．從一塊短軸成為2m的橢圓形板材中截取一塊面積最大的矩形，若橢圓的離心率為e，且e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，則該矩形面積的取值范圍是（　　）

• A． [m²，2m²]
• B． [2m²，3m²]
• C． [3m²，4m²]
• D． [4m²，5m²]

Answer 1

分析 在第一象限內(nèi)取點（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，表示出圓的內(nèi)接矩形長和寬，可得矩形的面積，由e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，∴$\frac{3}{4}≤\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{21}{25}$⇒2b≤a≤$\frac{5}{2}b$，得：4b²≤2ab≤5b²即可

解答 解：在第一象限內(nèi)取點（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
則橢圓的內(nèi)接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，
內(nèi)接矩形面積為2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
橢圓的離心率為e，且e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，∴$\frac{3}{4}≤\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{21}{25}$⇒2b≤a≤$\frac{5}{2}b$，
得：4b²≤2ab≤5b²，矩形面積的取值范圍是[4m²，5m²]．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．