Question

6．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P（不在x軸上）為橢圓上的一點(diǎn)，且滿足${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，則橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$
• B． $[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），（-a＜x₀＜a），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，可得${y}_{0}^{2}$=$^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．于是c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x₀）（c-x₀）+$（-{y}_{0}）^{2}$，代入化為：3c²=a²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{0}^{2}$，即$\frac{3{e}^{2}-1}{{e}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$∈[0，1），解出即可得出．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），（-a＜x₀＜a），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=$^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．
則c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x₀）（c-x₀）+$（-{y}_{0}）^{2}$，
∴2c²=${x}_{0}^{2}$+$^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$，化為：3c²=a²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{0}^{2}$，∴$\frac{3{e}^{2}-1}{{e}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$∈[0，1），
解得：$\frac{1}{3}≤{e}^{2}$$＜\frac{1}{2}$，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量數(shù)量積的性質(zhì)、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．