Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值．

Answer 1

（1）3;（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意，求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，從而得到（2）為了研究函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，應(yīng)研究函數(shù)在此區(qū)間的單調(diào)性，為此應(yīng)對(duì)分三種情況討論：當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)，在以上三種情況下分別研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，

①當(dāng)時(shí)，，不符合題意； ②當(dāng)時(shí)，令，得；③當(dāng)時(shí)，，不符合題意，因此 ．

試題解析：() 2分

（1）因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，）處的切線與直線垂直，

所以，即 4分

（2）當(dāng)時(shí)，在（1，2）上恒成立，這時(shí)在[1，2]上為增函數(shù),

． 6分

當(dāng)時(shí)，由得，，

對(duì)于有在[1，a]上為減函數(shù)，

對(duì)于有在[a，2]上為增函數(shù)，

． 8分

當(dāng)時(shí)，在（1，2）上恒成立，這時(shí)在[1，2]上為減函數(shù)，

9分

于是，①當(dāng)時(shí)，，不符合題意； 10分

②當(dāng)時(shí)，，令，得； 11分

③當(dāng)時(shí)，，不符合題意． 12分

綜上所述，． 13分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系；3、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題．