Question

長沙市某中學(xué)在每年的11月份都會舉行“社團文化節(jié)”，開幕式當(dāng)天組織舉行大型的文藝表演，同時邀請36名不同社團的社長進行才藝展示．其中有

3

4

的社長是高中學(xué)生，

1

4

的社長是初中學(xué)生，高中社長中有

1

3

是高一學(xué)生，初中社長中有

2

3

是初二學(xué)生．
（1）若校園電視臺記者隨機采訪3位社長，求恰有1人是高一學(xué)生且至少有1人是初中學(xué)生的概率；
（2）若校園電視臺記者隨機采訪3位初中學(xué)生社長，設(shè)初二學(xué)生人數(shù)為，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E_ξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意得，高中學(xué)生社長有27人，其中高一學(xué)生9人，初中學(xué)生社長有9人，其中初二學(xué)生社長6人，由此能求出采訪3人中恰有1人是高一學(xué)生且至少有1人是初中學(xué)生的概率．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）由題意得，高中學(xué)生社長有27人，其中高一學(xué)生9人，
初中學(xué)生社長有9人，其中初二學(xué)生社長6人，
事件A為“采訪3人中恰有1人是高一學(xué)生且至少有1人是初中學(xué)生”，
P（A）=

C 1 9 C 1 9 C 1 18

C 3 36

+

C 1 9 C 2 9

C 3 36

=

297

1190

．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，
P（ξ=3）=

5

21

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

∴Eξ=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．