【題目】點(diǎn)與定點(diǎn)
的距離和它到直線
的距離的比是常數(shù)
.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(Ⅱ)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡
于
,
兩點(diǎn),軌跡
上異于
,
的點(diǎn)
滿足直線
的斜率為
.
(。┳C明:直線與
的斜率之積為定值;
(ⅱ)求面積的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(。┳C明見解析;(ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)已知條件列方程,化簡后求得軌跡的方程.
(Ⅱ)
(。├命c(diǎn)差法,求得,由此證得結(jié)論成立.
(ⅱ)利用弦長公式求得,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得
到直線
的距離,由此求得三角形
面積的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得三角形
面積的最大值.
(Ⅰ)由已知得,兩邊平方并化簡得
,
即點(diǎn)的軌跡
的方程為:
.
(Ⅱ)(。┰O(shè)點(diǎn),則點(diǎn)
,滿足
, ①
設(shè)點(diǎn),滿足
, ②
由①-②得:,
∵,
,
∴.
(ⅱ)∵,
關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴
,
設(shè)直線,代入曲線
化簡得:
,
設(shè),
,由
得:
,
,
,
,
點(diǎn)到直線
的距離
,
∴,
∴,當(dāng)
時,
∴取到最大值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,且直線
與曲線C有兩個不同的交點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知M為曲線C上一點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線垂直,求點(diǎn)M的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在
單調(diào)遞增,求
的值;
(2)當(dāng)時,設(shè)函數(shù)
的最小值為
,求函數(shù)
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)是
軸下方(不含
軸)一點(diǎn),拋物線
上存在不同的兩點(diǎn)
、
滿足
,
,其中
為常數(shù),且
、
兩點(diǎn)均在
上,弦
的中點(diǎn)為
.
(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為
,
時,求弦
所在的直線方程;
(2)在(1)的條件下,如果過點(diǎn)的直線
與拋物線
只有一個交點(diǎn),過
點(diǎn)的直線
與拋物線
也只有一個交點(diǎn),求證:若
和
的斜率都存在,則
與
的交點(diǎn)
在直線
上;
(3)若直線交拋物線
于點(diǎn)
,求證:線段
與
的比為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的焦距是
,長軸長是短軸長3倍,任作斜率為
的直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn)(如圖所示),且點(diǎn)
在直線
的左上方.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求
的面積;
(3)證明:的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)若在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)
的極大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線C:
上的一點(diǎn),過P作互相垂直的直線PA,PB.與拋物線C的另一交點(diǎn)分別是A,B.
(1)若直線AB的斜率為,求AB方程;
(2)設(shè),當(dāng)
時,求△PAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)平面圖如圖1所示,為邊界上的點(diǎn).已知邊界
是一段拋物線,其余邊界均為線段,且
,拋物線頂點(diǎn)
到
的距離
.以
所在直線為
軸,
所在直線為
軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求邊界所在拋物線的解析式;
(2)如圖2,該景區(qū)管理處欲在區(qū)域內(nèi)圍成一個矩形
場地,使得點(diǎn)
在邊界
上,點(diǎn)
在邊界
上,試確定點(diǎn)
的位置,使得矩形
的周長最大,并求出最大周長.
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