Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在一周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時(shí)，y取得最大值3，當(dāng)x=

7π

12

時(shí)，y取得最小值-3，求：
（1）函數(shù)的解析式；
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的最大、最小值及相應(yīng)的x值，可得A=3且ω=2，再由函數(shù)在x=

7π

12

時(shí)取得最小值-3，列式解出φ=

π

3

，由此得到函數(shù)的表達(dá)式．
（2）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸方程的結(jié)論，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)，可得2x+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵在一周期內(nèi)，函數(shù)當(dāng)x=

π

12

時(shí)取得最大值3，當(dāng)x=

7π

12

時(shí)取得最小值-3．
∴正數(shù)A=3，周期T滿足

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，得T=π，∴ω=

2π

T

=2
因此，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=3sin（2x+φ），
將點(diǎn)（

7π

12

，-3）代入，得-3=3sin（2×

7π

12

+φ），即sin（2×

7π

12

+φ）=-1
∴

7π

6

+φ=-

π

2

+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=

π

3

綜上所述，f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+

π

3

）
（2）令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ，解得-

5π

12

+kπ＜x＜

π

12

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x） 的單調(diào)增區(qū)間為（-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ），k∈Z
由2x+

π

3

=

π

2

+kπ，解得x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
由2x+

π

3

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（

kπ

2

-

π

6

，0）（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

12

，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，可得

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤

3

2

即得

3

2

≤3sin（2x+

π

3

）≤

3 3

2

因此，函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）的值域?yàn)閇

3

2

，

3 3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的值域，著重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識(shí)、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．