Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-x，g（x）=ax²+1，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜

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且a≠0時(shí)，若y=f（x）與y=g（x）在公共點(diǎn)P處有相同切線，求切點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）若f（x）≥g（x）對(duì)?x≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=e^x-1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)f（x）與g（x）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同．f′（x）=e^x-1，g′（x）=2ax，由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），由此能求出P（0，1）．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-ax²-1≥0，則F′（x）=e^x-2ax-1，x≥0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
由f′（x）＞0，得x＞0，故增區(qū)間為（0，+∞）；
由f′（x）＜0，得x＜0，故減區(qū)是為（-∞，0）．
（2）設(shè)f（x）與g（x）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同．
f′（x）=e^x-1，g′（x）=2ax
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

ex0-x0=ax02+1 ex0-1=2ax0

，
解得x₀=0或x0=

2a+1

a

（舍），
f′（0）=0，f（0）=1，
∴P（0，1）．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-ax²-1≥0，
則F′（x）=e^x-2ax-1，x≥0，
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函數(shù)，
∴F（x）_min=F（0）=1-1=0；
a=0時(shí)，f（x）=e^x-1-x，f'（x）=e^x-1
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
故f（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加；
f ′（x）=e^x-1-2ax
由e^x≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立
故f'（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
從而當(dāng)1-2a≥0，即a≤

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時(shí)，f'（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）
從而當(dāng)a＞

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2

時(shí)，f'（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f'（x）＜0，而f（0）=0，
于是當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）＜0
綜合得a的取值范圍為（-∞，

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]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的音調(diào)區(qū)間的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．