Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

(Ⅰ)求此幾何體的體積；

    (Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值；

    (Ⅲ)探究在上是否存在點Q，使得，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由該幾何體的三視圖可知垂直于底面，且，，

，，此幾何體的體積為；           

解法一：（Ⅱ）過點作交于，連接，則或其補角即為異面直線與所成角，在中，，，

；即異面直線與所成角的余弦值為。

（Ⅲ）在上存在點Q，使得；取中點，過點作于點，則點為所求點；連接、，在和中，

，∽，，

，，，

，，，

以為圓心，為直徑的圓與相切，切點為，連接、，可得；

，，，，

，；              

解法二：（Ⅰ）同上。

（Ⅱ）以為原點，以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，得，，，又異面直線與所成角為銳角，異面直線與所成角的余弦值為。

（Ⅲ）設存在滿足題設的點，其坐標為，

則，，，

，    ①；

點在上，存在使得，

即，化簡得，     ②，

②代入①得，得，；

滿足題設的點存在，其坐標為。