Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在處的切線方程：

（2）已知實(shí)數(shù)時(shí)，求證：函數(shù)的圖象與直線：有3個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，再求出切點(diǎn)為（1，0），利用直線方程的點(diǎn)斜式可得函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值同0進(jìn)行比較，得到結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以在處的切線方程；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

因?yàn)?/span>，，

設(shè)，

因?yàn)槎魏瘮?shù)在時(shí)，，，

所以存在，，使得，，

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．

因?yàn)?/span>，所以，，

因此在存在一個(gè)零點(diǎn)；

又因?yàn)楫?dāng)，，

所以在存在一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

所以在存在一個(gè)零點(diǎn)；

所以，函數(shù)的圖象與直線：有3個(gè)交點(diǎn)．