Question

【題目】已知拋物線，過(guò)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，直線的方程為；定值為

【解析】

（1）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后，用將表示出來(lái)即可.

（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，然后將表示出來(lái)即可.

（1）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，，

直線的方程為，與聯(lián)立得.

由韋達(dá)定理得：，，

于是，

所以當(dāng)時(shí)，面積最小值，最小值為.

（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入，得，

則.

設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，，

則，，于是有

.

當(dāng)，即時(shí)，為定值.

故滿足條件的直線存在，其方程為.