Question

設等差數列{a_n}的公差為d，點（a_n，b_n）在函數f（x）=2^x的圖象上（n∈N^*）．
（1）若a₁=-2，點（a₈，4b₇）在函數f（x）的圖象上，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）若a₁=1，函數f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處的切線在x軸上的截距為2-

1

ln2

，求數列{

an

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與函數的綜合

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：（1）由于點（a_n，b_n）在函數f（x）=2^x的圖象上，可得bn=2an，又等差數列{a_n}的公差為d，利用等差數列的通項公式可得

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2^d．由于點
（a₈，4b₇）在函數f（x）的圖象上，可得4b7=2a8=b₈，進而得到

b8

b7

=4=2^d，解得d．再利用等差數列的前n項和公式即可得出．
（2）利用導數的幾何意義可得函數f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處的切線方程，即可解得a₂．進而得到a_n，b_n．再利用“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）∵點（a_n，b_n）在函數f（x）=2^x的圖象上，
∴bn=2an，
又等差數列{a_n}的公差為d，
∴

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=2^d，
∵點（a₈，4b₇）在函數f（x）的圖象上，
∴4b7=2a8=b₈，
∴

b8

b7

=4=2^d，解得d=2．
又a₁=-2，∴S_n=na1+

n(n-1)

2

d=-2n+

n(n-1)

2

×2=n²-3n．
（2）由f（x）=2^x，∴f′（x）=2^xln2，
∴函數f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處的切線方程為y-b2=2a2ln2(x-a2)，
又b2=2a2，令y=0可得x=a2-

1

ln2

，
∴a2-

1

ln2

=2-

1

ln2

，解得a₂=2．
∴d=a₂-a₁=2-1=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=2ⁿ．
∴

an

bn

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴2T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
兩式相減得T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

=

2n+1-2-n

2n

．

點評：本題綜合考查了指數函數的運算性質、導數的幾何意義、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力、“錯位相減法”，屬于難題．