Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

（Ⅰ）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）設常數(shù)，求函數(shù)的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）（1）當時，

（2）當時，

（3）當時，

（Ⅲ）當時, 函數(shù)的最大值是=2+；當時，函數(shù)的最大值是=3；

當時, 函數(shù)的最大值是

【解析】

試題分析：（1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)的最小值為，最大值為，若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為，最大值為，（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在的無最值，但可以說在上的值域為,（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍，是函數(shù)單調(diào)性的逆向思維，能夠加深對概念性質(zhì)的理解.

試題解析：（Ⅰ）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，則；

（Ⅱ）在區(qū)間遞減，在遞增，

所以（1）當時，

（2）當時，

（3）當時，

（Ⅲ）∵[1,4], ∴∈[1,2],

=,

當時, 函數(shù)的最大值是=2+；

當時，函數(shù)的最大值是=3；

當時, 函數(shù)的最大值是

考點：函數(shù)的單調(diào)性及最值.