Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合，且兩個坐標系的坐標長度相同，已知直線l的參數(shù)方程為

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（1）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點的極坐標；
（2）若直線l與曲線C相交弦長為2

3

，求直線l的參數(shù)方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：直線與圓,坐標系和參數(shù)方程

分析：本題（1）將曲線C的極坐標方程化成直角坐標方程，將直線l的參數(shù)方程化成普通方程，求出它們交點的直角坐標，再化成極坐標；（2）利用直線與圓相交的弦長與弦心距的關(guān)系，求出直線的斜率，得到直線的普通方程，再將普通方程化成參數(shù)方程．

解答： 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)），直線l的斜率為-1，
∴直線l的普通方程為y-1=-（x+1）即y=-x．
∵曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∵

ρ2=x2+y2 ρcosθ=x

，
∴x²+y²-4x=0．
由

y=-x x2+y2-4x=0

得：2x²-4x=0，
∴直線l與曲線C交點的三角坐標為A（0，0），B（2，-2）．
由

ρ= x2+y2 tanθ= y x

，
得直線l與曲線C交點的極坐標為A（0，0），B(2

2

，

7

4

π)．
（2）∵直線l的參數(shù)方程為

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)），
∴直線l過定點（-1，1），
設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+1），（k存在）
即kx-y+k+1=0．
圓心C到直線l的距離為d=

|2k-0+k+1|

k2+1

=

|3k+1|

k2+1

．
∵直線l與曲線C相交弦長為2

3

，
∴r2-d2=(

3

)2，
∴

|3k+1|

1+k2

=1，
∴k=0或k=-

3

4

．
∴直線l的參數(shù)方程為

x=-1+t y=1

或

x=-1- 4 5 t y=1+ 3 5 t

（t為參數(shù)）．

點評：本題考查了極坐標與直角坐標的關(guān)系，參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，以及圓中弦長與弦心距的關(guān)系，本題思維量不大，但計算量較大，屬于中檔題．