Question

5．已知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{16}}}（{x+1}），x＜0}\\{-{x^2}+x，x≥0}\end{array}}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a，b，c，則abc的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{16}，0}）$
• B． $（{-\frac{1}{4}，0}）$
• C． $（{-\frac{1}{8}，0}）$
• D． $（{-\frac{1}{2}，0}）$

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a，b，c的范圍和關(guān)系，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)得出abc的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：

不妨設(shè)a＜b＜c，則-$\frac{1}{2}$＜a＜0$＜b＜\frac{1}{2}＜1$，
由圖象可知b，c關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱，
∴b+c=1，bc＜（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴0＜bc＜$\frac{1}{4}$，又-$\frac{1}{2}＜a＜0$，
∴-$\frac{1}{8}$＜abc＜0．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．