【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)與
的圖象有兩個不同的交點
,
,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時,在
遞增;當(dāng)
時,遞增區(qū)間為
,遞減為
;(2)
.
【解析】
(1)求得,分類討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號,即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)與
有兩個不同的交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)
有兩個不同的零點
,
,當(dāng)
時,利用函數(shù)
單調(diào)性與最值,構(gòu)造
,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)
的單調(diào)性和最值,即可求解.
(1)由函數(shù),
,
可得,則
,
當(dāng)時,
,函數(shù)
在
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,
令,解得
;令
,解得
,
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減為
,
綜上可得:當(dāng)時,函數(shù)
在
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減為
.
(2)函數(shù)與
有兩個不同的交點
、
,其中
,
等價于函數(shù)有兩個不同的零點
,
,其中
.
由(Ⅰ)知,當(dāng)時,函數(shù)
在
上是增函數(shù),不可能有兩個零點,
當(dāng)時,
在
上是增函數(shù),在
上是減函數(shù),
此時為函數(shù)
的最大值,
當(dāng)時,
最多有一個零點,∴
,解得
,
此時,,且
,
,
令,則
,
∴在
上單調(diào)遞增,
∴,即
,
∴的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多邊形中(圖1).四邊形
為長方形,
為正三角形,
,
,現(xiàn)以
為折痕將
折起,使點
在平面
內(nèi)的射影恰好是
的中點(圖2).
(1)證明:平面
:
(2)若點在線段
上,且
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年,某省將實施新高考,
年秋季入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生,新高考不再分文理科,采用
模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各
分,另外,考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物
門科目中自選
門參加考試(
選
),每科目滿分
分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級
名學(xué)生(其中男生
人,女生
人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的n名學(xué)生中含女生人,求n的值及抽取到的男生人數(shù);
(2)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),下面表格是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的
列聯(lián)表,請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有
的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
選擇“物理” | 選擇“歷史” | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
總計 |
(3)在抽取到的名女生中,在(2)的條件下,按選擇的科目進(jìn)行分層抽樣,抽出
名女生,了解女生對“歷史”的選課意向情況,在這
名女生中再抽取
人,求這
人中選擇“歷史”的人數(shù)為
人的概率.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點是以
為直徑的圓上的動點(異于
,
),已知
,
,
平面
,四邊形
為平行四邊形.
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時,求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,焦距為
.
(1)求的方程;
(2)若斜率為的直線
與橢圓
交于
,
兩點(點
,
均在第一象限),
為坐標(biāo)原點.
①證明:直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與
關(guān)于
軸對稱,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若過點的直線
與曲線
相切,求直線
的斜率的值;
(2)設(shè),若
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年7月1日迎來了我國建黨98周年,6名老黨員在這天相約來到革命圣地之一的西柏坡.6名老黨員中有3名黨員當(dāng)年在同一個班,他們站成一排拍照留念時,要求同班的3名黨員站在一起,且滿足條件的每種排法都要拍一張照片,若將照片洗出來,每張照片0.5元(不含過塑費),且有一半的照片需要過塑,每張過塑費為0.75元.若將這些照片平均分給每名老黨員(過塑的照片也要平均分),則每名老黨員需要支付的照片費為( )
A.20.5B.21元C.21.5元D.22元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某度假酒店為了解會員對酒店的滿意度,從中抽取50名會員進(jìn)行調(diào)查,把會員對酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個評分標(biāo)準(zhǔn):1分(很不滿意);2分(不滿意);3分(一般);4分(滿意);5分(很滿意).其統(tǒng)計結(jié)果如下表(住宿滿意度為,餐飲滿意度為
)
(1)求“住宿滿意度”分?jǐn)?shù)的平均數(shù);
(2)求“住宿滿意度”為3分時的5個“餐飲滿意度”人數(shù)的方差;
(3)為提高對酒店的滿意度,現(xiàn)從且
的會員中隨機(jī)抽取2人征求意見,求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,.
(1)求證:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且點A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
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