【題目】已知函數(shù).
(1)若過點的直線
與曲線
相切,求直線
的斜率的值;
(2)設(shè),若
,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為
,設(shè)切點坐標(biāo)為
,根據(jù)題意可得出關(guān)于
、
的方程組,求出
、
的值,進(jìn)而可得出
的值;
(2)根據(jù)題意知,當(dāng)時,
,當(dāng)
時,
,然后求得函數(shù)
的導(dǎo)數(shù),對實數(shù)
的取值進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)
的單調(diào)性,驗證條件“當(dāng)
時,
,當(dāng)
時,
”是否滿足,由此可得出實數(shù)
的取值范圍.
(1)因為直線過點
,不妨設(shè)直線
的方程為
,由題意得
,
設(shè)切點為,則
,解得
.
直線過點
,則有
,解得
,即直線
的斜率為
;
(2),
.
①若,則當(dāng)
時,
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
此時,即
,不合乎題意;
②若,則
,當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立.
(i)當(dāng)時,
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增.
又,所以當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
于是有;
(ii)當(dāng)時,記
,則
,
當(dāng)時,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
此時,即
,不合乎題意;
(iii)若,記
,則
,
當(dāng)時,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
此時,即
,不合乎題意.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
)的右頂點為
.左、右焦點分別為
,
,過點
且垂直于
軸的直線交橢圓于點
(
在第象限),直線
的斜率為
,與
軸交于點
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點的直線與橢圓交于
、
兩點(
、
不與
、
重合),若
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中社團(tuán)進(jìn)行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次是否開通“微博”的調(diào)查,若開通“微博”的稱為“時尚族”,否則稱為“非時尚族”,通過調(diào)查分別得到如圖所示統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
完成以下問題:
(Ⅰ)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n,a,p的值;
(Ⅱ)從[40,50)歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達(dá)人大賽,其中選取3人作為領(lǐng)隊,記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[40,45)歲的人數(shù)為X,求X的分布列和期望E(X)..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D與AD1交于點E,AA1=AD=2AB=4.
(1)證明:AE⊥平面ECD.
(2)求直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)與
的圖象有兩個不同的交點
,
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:,直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與E有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.
若
,點K在橢圓E上,
、
分別為橢圓的兩個焦點,求
的范圍;
證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
若l過點
,射線OM與橢圓E交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時直線l斜率;若不能,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)試問是否存在,使得
對
恒成立?若存在,求
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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