Question

【題目】如圖，點是以為直徑的圓上的動點（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形.

（1）求證：平面；

（2）當三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質、平行線的性質，結合線面垂直的性質、直徑所對圓周角的性質、線面垂直的判定理進行證明即可；

（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結合基本不等式可以求出的長.

法一：以為坐標原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用空間平面向量夾角公式，結合線面垂直的性質進行求解即可；

法二：根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的性質、平行線的性質可以證明出平面平面的交線與BC平行，在圓內(nèi)作交圓于點,可以證明出直線是平面平面的交線，這樣利用線面垂直的判定定理，結合二面角的定義進行求解即可.

（1）因為四邊形為平行四邊形，所以.

因為平面，所以平面，所以.

因為是以為直徑的圓上的圓周角，所以，

因為，平面，

所以平面.

（2）中，設，，

所以，

因為，，所以，

所以

，

當且僅當，即時，三棱錐體積的最大值為.

法一：以為坐標原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系.

則，，，，

所以，，平面的法向量，

設平面的法向量，，

所以，即，

所以.

法二：因為，平面，平面，

所以平面，

設平面平面，則，

又，所以，

又點是平面與平面公共點，所以過點，

過點在圓內(nèi)作交圓于點，則直線與重合，

所以為平面與平面的交線，

因為，，所以，

又因為平面，所以，所以，

所以為兩個平面所成的銳二面角的平面角，

在中，

所以，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.