Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為. 不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于,兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值；

(3)過(guò)點(diǎn),,的動(dòng)圓記為圓，動(dòng)圓過(guò)不同于的定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意得.……2分

, , ………………3分 

 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…………4分

（2）證明：設(shè)點(diǎn) 將帶入橢圓，化簡(jiǎn)得：

∴………6分 

,                         

∴P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值4. ………………7分

（3）(法一)設(shè)圓的一般方程為:,則圓心為（）,

PQ中點(diǎn)M(),  PQ的垂直平分線的方程為:, ………………8分

圓心（）滿足，所以,………9分

圓過(guò)定點(diǎn)(2,0)，所以,………………10分

圓過(guò), 則 兩式相加得：

 ,……11分

,    .………………12分

因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓C交與P,Q（均不與A點(diǎn)重合）所以，

由解得: ………………13分

代入圓的方程為：,

整理得：,……………14分

所以：………………15分   解得：或(舍).

     所以圓過(guò)定點(diǎn)(0,1). ………………16分

(法二) 設(shè)圓的一般方程為:,將代入的圓的方程:

.………………8分

方程與方程為同解方程., …………11分

圓過(guò)定點(diǎn)(2,0)，所以 ,  ………………12分          

因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓C交與P,Q（均不與A點(diǎn)重合）所以.

解得: ,…………13分  (以下相同)