設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)討論g(x)與g()的大小關(guān)系；

(3)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)<對(duì)任意x>0成立．


[解析]　(1)g′(x)＝，由g′(x)>0，得g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)；由g′(x)<0，得g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)．因此x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)．所以g(x)min＝g(1)＝1.

(2)設(shè)h(x)＝g(x)－g()，則h′(x)＝－，

h′(x)≤0，∴h(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．

當(dāng)x＝1時(shí)，h(1)＝0，即g(x)＝g()；

當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()；

當(dāng)x>1時(shí)，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g()．

(3)由(1)知g(x)的最小值為1，所以g(a)－g(x)<，對(duì)任意x>0成立⇔由g(a)－1<，得0<a<e.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，某農(nóng)場要修建3個(gè)養(yǎng)魚塘，每個(gè)面積為10 000m2，魚塘前面要留4m的運(yùn)料通道，其余各邊為2m寬的堤埂，則占地面積最少時(shí)，每個(gè)魚塘的長、寬分別為(　　)

A．長102m，寬m                                B．長150m，寬66m

C．長、寬均為100米                                     D．長150m，寬m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)f(x)＝－x3＋x2＋2ax.

(1)若f(x)在(，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．

(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在[1,4]上的最小值為－，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


直線l過拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于(　　)

A.                                                              B．2

C.                                                              D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若點(diǎn)P在角π的終邊上，且|OP|＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖像與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是________．

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