Question

已知矩形ABCD的對角線交于點P(2,0)，邊AB所在直線的方程為x－3y－6＝0，點(－1,1)在邊AD所在的直線上．

(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；

(2)已知直線l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線l的方程．

Answer 1

解：(1)∵l_AB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，

∴k_AD＝－3，點(－1,1)在邊AD所在的直線上，∴AD所在直線的方程是

y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.

由得A(0，－2)．

∴|AP|＝＝2，

∴矩形ABCD的外接圓的方程是(x－2)²＋y²＝8.

(2)證明：直線l的方程可化為k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是過直線－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交點(3,2)的直線系，即l恒過定點Q(3,2)，

由|QP|²＝(3－2)²＋2²＝5＜8知點Q在圓P內(nèi)，所以l與圓P恒相交，

設(shè)l與圓P的交點為M，N，

|MN|＝2 (d為P到l的距離)，

設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d＝|PQ|·sin θ＝ sin θ，當θ＝90°時，d最大，|MN|最短．

此時l的斜率為PQ的斜率的負倒數(shù)，

即－，故l的方程為y－2＝－(x－3)，

即l：x＋2y－7＝0.