Question

已知定義在（0，

π

2

）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對任意x∈（0，

π

2

），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，則不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

sinx

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出不等式的解集．

解答： 解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，
則f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

sinx

，
則g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

，
當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＜0，
即函數(shù)g（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，
則不等式式f（x）＜2f（

π

6

）sinx等價為式

f(x)

sinx

＜

f( π 6 )

1 2

=

f( π 6 )

sin π 6

，
即g（x）＜g（

π

6

），
則

π

6

＜x＜

π

2

，
故不等式的解集為（

π

6

，

π

2

），
故答案為：（

π

6

，

π

2

）

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的 求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．