Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+1，g（x）=2aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h（x），得出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論即可；
（2）結(jié)合（1）的討論，當(dāng)a＞0時(shí)，有（1）知，h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上遞減，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上遞增，且有極小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，構(gòu)造函數(shù)$u（x）={[x-（1+\sqrt{a}）]^2}≥0$，
，$v（x）=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-g（x）$=$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-2aln（x-1）$，對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論即可．

解答 解：（1）由題意得h（x）=（x-1）²-2aln（x-1），x＞1，
∴$h'（x）=\frac{{2[{{（x-1）}^2}-a]}}{x-1}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，則h'（x）＞0，此時(shí)h（x）無(wú)極值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令h'（x）＜0，則$1＜x＜1+\sqrt{a}$；令h'（x）＞0，則$x＞1+\sqrt{a}$；
∴h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上遞減，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上遞增；
∴h（x）有極小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，無(wú)極大值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，有（1）知，h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上遞減，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上遞增，且有極小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，
①當(dāng)a＞e時(shí)，$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）＜0$，
∴$f（1+\sqrt{a}）＜g（1+\sqrt{a}）$，
此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立；
②當(dāng)0＜a≤e時(shí)，$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）≥0$，f（x）=x²-2x+1在$x=1+\sqrt{a}$處的切線(xiàn)方程為$y=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）$，
令$u（x）=f（x）-[2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）]$，x＞1，
則$u（x）={[x-（1+\sqrt{a}）]^2}≥0$，
∴$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）≤f（x）$，
令$v（x）=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-g（x）$=$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-2aln（x-1）$，x＞1，
則$v'（x）=\frac{{2\sqrt{a}[x-（1+\sqrt{a}）]}}{x-1}$，
令v'（x）＜0，則$1＜x＜1+\sqrt{a}$；令v'（x）＞0，則$x＞1+\sqrt{a}$；
∴$v（x）≥v（1+\sqrt{a}）$=a（1-lna）≥0，
∴$g（x）≤2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）$，
∴$g（x）≤2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）≤f（x）$，
當(dāng)$k=2\sqrt{a}$，$m=-2\sqrt{a}-a$時(shí)，不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，
∴0＜a≤e符合題意；
由①，②得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值，難道是對(duì)題意的理解和通過(guò)函數(shù)構(gòu)造解決實(shí)際問(wèn)題的方法．