Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，直線y=kx（k＞0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若$AF⊥BF，∠FAB∈（0，\frac{π}{12}]$，則C的離心率取值范圍為（　�。�

• A． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$
• D． $[\frac{2}{3}，1）$

Answer 1

分析 由題意可知：四邊形AFBF₂是矩形．由丨BF丨=2ccosθ，丨BF₂丨=丨AF丨=2csinθ，根據(jù)橢圓的定義丨BF丨+丨BF₂丨=2a，即可表示出e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，利用輔助角公式，及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得sinθ+cosθ的取值范圍，即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)F₂是橢圓的右焦點(diǎn)，由AF⊥BF，
∵O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，丨OF丨=丨OF₂丨，則四邊形AFBF₂是平行四邊形，
∴四邊形AFBF₂是矩形．
如圖所示設(shè)∠ABF=θ，則丨BF丨=2ccosθ，丨BF₂丨=丨AF丨=2csinθ，
丨BF丨+丨BF₂丨=2a，
∴2ccosθ+2csinθ=2a，
∴e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，
sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{12}$]，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，則sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴e∈[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查橢圓的定義，輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．