Question

如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，點E在線段PB上，且PE=

1

3

PB．
（Ⅰ）求證：AP⊥BM；
（Ⅱ）求三棱錐ABEM的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）取AM的中點N，連接PN，NB，在NB上取點F，使NF=

1

3

NB，連接EF，證明EF⊥平面ABM，EF=

2

3

，即可求三棱錐ABEM的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點，
∴AM=BM=

2

，
∴AB²=AM²+BM²，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）解：取AM的中點N，連接PN，NB，則PN⊥平面ABM，且PN=

2

2

，
在NB上取點F，使NF=

1

3

NB，連接EF，
∵PE=

1

3

PB，
∴EF∥PN，
∴EF⊥平面ABM，EF=

2

3

．
∵S_△ABM=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴V_A-BEM=V_E-ABM=

1

3

×1×

2

3

=

2

9

．

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐ABEM的體積，正確運用面面垂直的性質(zhì)，掌握線面垂直的判定方法是關鍵．