Question

已知函數(shù)f（x）=（m-1）xm2-m-3為冪函數(shù)，g（x）=

1

4

x+f（x）．
（1）求證：函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)g（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域,冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因為只有y=x^α型的函數(shù)才是冪函數(shù)，所以只有，m-1=1，函數(shù)f（x）=（m-1）xm2-m-3才是冪函數(shù)，據(jù)此得出m．然后再證明其是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答： 證明：（1）有f（x）為冪函數(shù)，得m-1=1，∴M=2，
∴f（x）=

1

x

，（x≠0），
∴g（x）=

1

4

x+

1

x

，
由g（-x）=

1

4

（-x）+

1

-x

=-（

1

4

x+

1

x

），
∴函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是奇函數(shù)；
（2）設(shè)任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=（

1

4

x1+

1

x1

)-(

1

4

x2+

1

x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
由x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
得：x₁-x₂＞4，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
函數(shù)g（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查冪函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．