Question

在學(xué)習(xí)了有關(guān)命題的相關(guān)知識后，你一定對命題有了不少了解，請用你所學(xué)相關(guān)知識為下列命題求解：
（1）命題p：“方程

x2

2

+

y2

m

=1表示焦點在y軸上的橢圓”，命題q：“?x∈R，mx²+2x+m＞0恒成立”，若命題p與命題q有且只有一個是真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）已知命題p：實數(shù)m滿足m²-7am+12a²＜0（a＞0），命題q：實數(shù)m滿足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，且非q是非p的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）求出命題p，q成立的等價條件即可求實數(shù)m的取值范圍；
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：（1）命題p：“方程

x2

2

+

y2

m

=1表示焦點在y軸上的橢圓”，則m＞2，即q：m＞2，
命題q：“?x∈R，mx²+2x+m＞0恒成立”，若m=0，則不等式為2x＞0，不滿足條件，
若m≠0，則等價為

m＞0 △=4-4m2＜0

，即

m＞0 m＞1或m＜-1

，
則m＞1，即q：m＞1，
若命題p與命題q有且只有一個是真命題，
則等價為

m＞2 m≤1

或

m＞1 m≤2

，解得1＜m≤2
即實數(shù)m的取值范圍是（1，2]；
（2）由m²-7am+12a²＜0（a＞0），得（m-3a）（m-4a）＜0，即3a＜m＜4a，即p：3a＜m＜4a，
若實數(shù)m滿足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，
則

m-1＞0 2-m＞0 2-m＞m-1

，即

m＞1 m＜2 m＜ 3 2

，解得1＜m＜

3

2

，即q：1＜m＜

3

2

，
若非q是非p的充分不必要條件，
則p是q的充分不必要條件，
即

a＞0 4a≤ 3 2 3a≥1

，即

a＞0 a≤ 3 8 a≥ 1 3

，即

1

3

≤a≤

3

8

．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)條件求出對應(yīng)的命題是解決本題的關(guān)鍵．