Question

如圖所示，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF分別是B₁B和D₁D上的點，且BE=

1

3

BB₁，DF=

2

3

DD₁，證明：A、E、C₁、F四點共面．

Answer 1

考點：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：法一：由AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，∠ABE=∠C₁D₁F，知△ABE≌△C₁D₁F，進而AE=C₁F，同理AF=C₁E，故AEC₁F為平行四邊形，由此能夠證明A、E、C₁、F四點共面．
法二：以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C₁（0，0，3），F(xiàn)（1，0，2），A（1，1，0），E（0，1，1），由此能證明A、E、C₁、F四點共面．

解答： 證明：（證法一）∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BE=

1

3

BB₁，DF=

2

3

DD₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，BE∥D₁F，BE=D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴AE=C₁F，
同理AF=C₁E，
故AEC₁F為平行四邊形，
∴A、E、C₁、F四點共面．…（6分）
（2）（法二）（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C₁（0，0，3），F(xiàn)（1，0，2），A（1，1，0），E（0，1，1），…（2分）
∴

C1F

=（1，0，-1），

EA

=（1，0，-1），
∴C₁F∥EA，
∴A、E、C₁、F四點共面．…（6分）

點評：本題考查四點共面的證明，解題時要認真審題，注意合理地化空間幾何為平面幾何進行求解，解題時要注意向量法的合理運用．