Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞|a-1|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，數(shù)軸上的-2和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，從而求得f（x）≤6的解集．
（2）由絕對(duì)值的意義可得，f（x）的最小值為4，再由 4＞|a-1|，求得a的范圍．

解答： 解：（1）由絕對(duì)值的意義可得函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-2和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集為[-2，4]．
（2）由絕對(duì)值的意義可得，f（x）的最小值為4，再根據(jù)關(guān)于x的不等式f（x）＞|a-1|恒成立，
可得 4＞|a-1|，-4＜a-1＜4，解得-3＜a＜5，
故要求的a的范圍是（-3，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．