Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x（其中a為常數(shù)）
（1）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點(diǎn)，求a的值，并寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求方程f（x）-g（x）=0在區(qū)間[-1，3]上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，通過(guò)與y=g（x）有相同的極值點(diǎn)相同，求a的值，利用導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)直接寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)方程f（x）-g（x）=0，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)a的討論，利用判別式是否為0，即可求解在區(qū)間[-1，3]上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

解答： （本小題滿分13分）
解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
則f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），…（1分）
令f'（x）=0，得x=a或

a

3

，而二次函數(shù)g（x）在x=

a-1

2

處有極大值，
∴

a-1

2

=a⇒a=-1或

a-1

2

=

a

3

⇒a=3；
綜上：a=3或a=-1．…（4分）
當(dāng)a=3時(shí)，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1]，[3，+∞），減區(qū)間是（1，3）…（5分）
當(dāng)a=-1時(shí)，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-1]， [-

1

3

，+∞)，減區(qū)間是(-1，-

1

3

)； …（6分）
（2）f(x)-g(x)=x(x-a)2-[-

x

2

+(a-1)x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=(x-a)[

x

2

+(1-a)x+1]，…（8分）
h(x)=

x

2

+(1-a)x+1，△=（a+1）（a-3）
1°當(dāng)-1＜a＜3時(shí)，△＜0，h（x）=0無(wú)解，故原方程的解為x=a∈[-1，3]，滿足題意，
即原方程有一解，x=a∈[-1，3]；        …（9分）
2°當(dāng)a=3時(shí)，△=0，h（x）=0的解為x=1，故原方程有兩解，x=1，3；
3°當(dāng)a=-1時(shí)，△=0，h（x）=0的解為x=-1，故原方程有一解，x=-1；
4°當(dāng)a＞3時(shí)，△＞0，由于h（-1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13-3a
若13-3a＜0⇒a＞

13

3

時(shí)，h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；
若13-3a=0⇒a=

13

3

，h（x）=0在[-1，3]上有兩解，故原方程有兩解
若13-3a＞0⇒3＜a＜

13

3

時(shí)，h（x）=0在[-1，3]上兩解，故原方程有兩解；
5°當(dāng)a＜-1時(shí)，△＞0，由于h（-1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13-3a＞0，
h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；     …（11分）
綜上可得：當(dāng)3≤a≤

13

3

時(shí)，原方程在[-1，3]上兩解；當(dāng)a＜3或a＞

13

3

時(shí)，原方程在[-1，3]上有一解…（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．