Question

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k²)x² (k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

(1)求炮的最大射程；

(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k²)x²＝0，

由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，又k>0，

故，

當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．

所以炮的最大射程為10千米．

(2)因?yàn)?i>a>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)⇔存在k>0，

使3.2＝ka－(1＋k²)a²成立

⇔關(guān)于k的方程a²k²－20ak＋a²＋64＝0有正根

⇔判別式Δ＝(－20a)²－4a²(a²＋64)≥0⇔0<a≤6.

所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，可擊中目標(biāo)．