Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，并且經(jīng)過點(diǎn)（，），M、N為橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若為軸上兩點(diǎn)，且，試判斷直線的交點(diǎn)是否在橢圓上，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）

（2）、、、

（3）在，答案見解析.

【解析】

試題分析：第一問求橢圓的方程，可以應(yīng)用待定系數(shù)法求解，也可以應(yīng)用橢圓的定義來求，用橢圓所過的一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a來求解，第二問，通過向量的數(shù)量積等于0和點(diǎn)在橢圓上，找出點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程組，從而得結(jié)果，第二問注意垂直關(guān)系由向量的數(shù)量積等于0來體現(xiàn)，第三問注意判斷點(diǎn)在曲線上的條件可以由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程來體現(xiàn).

試題解析：（1）依定義，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，（1分）

又， （3分）

因此，所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為. （4分）

或：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （1分）

因?yàn)辄c(diǎn)（，）在橢圓上，所以 又 （3分）

解得

因此，所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為. （4分）

（2）設(shè)，，則，，（5分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062906055993856924/SYS201506290606121109657304_DA/SYS201506290606121109657304_DA.020.png">， 所以，即①， （6分）

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以② （7分）

由①②解得 ，或. （8分）

因此，符合條件的點(diǎn)有、、、. （9分）

（3）設(shè)，則直線、的方程分別為

③，④ （10分）

設(shè)直線與直線交點(diǎn)為P，將其坐標(biāo)代人③、④并整理，得

⑤ ，⑥ （11分）

⑤與⑥相乘得 ⑦， （12分）

又，，代入⑦化簡(jiǎn)得 . （13分）

因此，直線與直線的交點(diǎn)仍在橢圓上. （14分）

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量垂直的等量關(guān)系，點(diǎn)在曲線上的判定方法.